Сомбреро (функция)
«Сомбреро» (англ. Sombrero) — сленговое название ряда математической функций, которые обладают свойствами, похожими на свойства кардинального синуса[1][2], a в двумерных прикладных задачах имеют графическое представление, напоминающее одноимённый мексиканский головной убор.
Краткая информация
Наиболее часто используемое определение функции «сомбреро» имеет следующий вид[3]:
- [math]\displaystyle{ Sombrero(x) = \frac{2 J_1 \left( \pi x \right)}{\pi x} }[/math]
где: [math]\displaystyle{ J_1 (x) }[/math] — функция Бесселя первого рода 1-го порядка.
В таком виде функция «сомбреро» часто возникает при решении волновых уравнений оптики и классической электродинамики. Её первые три нуля расположены при значениях своего аргумента x ≈ 1,22, x ≈ 2.23 и x ≈ 3,24. Модуль функции «сомбреро», выбранной в таком виде, является передаточной функцией оптических приборов вида камера-обскура[3]. Её полезным свойством является то, что она связана преобразованием Ганкеля с функцией [math]\displaystyle{ cyl (x) }[/math], которая имеет определение вида[4]:
[math]\displaystyle{ cyl (x) = \begin{cases} 1 & \mbox{если } 0 \le x \lt 0,5 \\ 0,5 & \mbox{если } x = 0,5 \\ 0 & \mbox{если } x \gt 0,5 \\ \end{cases} }[/math]
Альтернативным обозначением функции «сомбреро» является оператор somb или jinc[5].
Примечания
- ↑ Young, 2000, Impulse Response and Transfer Function, с. 182.
- ↑ Driggers et al, 2022, The 2-D Functions, с. 24.
- ↑ 3,0 3,1 Sasián, 2013, Optical transfer function of camera obscura, с. 37.
- ↑ Ersoy, 2007, Example 2.6, с. 24.
- ↑ Young, 2000, Glossary, с. 467.
Источники
- Ersoy, Okan K. Diffraction, Fourier Optics and Imaging : [англ.]. — John Wiley & Sons, Inc, 2007. — ISBN 978-0-471-23816-4.
- Sasián, José. Introduction to Aberrations in Optical Imaging Systems : [англ.]. — Cambridge : Cambridge University Press, 2013. — ISBN 978-1-107-00633-1.
- Young, Matt. Optics and Lasers : Including Fibers and Optical Waveguides : [англ.]. — New York : Springer, 2000. — ISBN 3-540-65741-X.
- Introduction to Infrared and Electro-Optical Systems : [англ.] / Ronald G. Driggers. — Third Edition. — Artech House, 2022. — ISBN 978-1-63081-832-6.